The domino problem on groups of polynomial growth

We characterize the virtually nilpotent finitely generated groups (or, equivalently by Gromov's theorem, groups of polynomial growth) for which the Domino Problem is decidable: These are the virtually free groups, i.e. finite groups, and those having $\Z$ as a subgroup of finite index

Limit sets of stable Cellular Automata

We study limit sets of stable cellular automata standing from a symbolic dynamics point of view where they are a special case of sofic shifts admitting a steady epimorphism. We prove that there exists a right-closing almost-everywhere steady factor map from one irreducible sofic shift onto another one if and only if there exists such a map from the domain onto the minimal right-resolving cover of the image. We define right-continuing almost-everywhere steady maps and prove that there exists such a steady map between two sofic shifts if and only if there exists a factor map from the domain onto the minimal right-resolving cover of the image. In terms of cellular automata, this translates into: A sofic shift can be the limit set of a stable cellular automaton with a right-closing almost-everywhere dynamics onto its limit set if and only if it is the factor of a fullshift and there exists a right- closing almost-everywhere factor map from the sofic shift onto its minimal right- resolving cover. A sofic shift can be the limit set of a stable cellular automaton reaching its limit set with a right-continuing almost-everywhere factor map if and only if it is the factor of a fullshift and there exists a factor map from the sofic shift onto its minimal right-resolving cover. Finally, as a consequence of the previous results, we provide a characterization of the Almost of Finite Type shifts (AFT) in terms of a property of steady maps that have them as range.Comment: 18 pages, 3 figure

Structural aspects of tilings

In this paper, we study the structure of the set of tilings produced by any given tile-set. For better understanding this structure, we address the set of finite patterns that each tiling contains. This set of patterns can be analyzed in two different contexts: the first one is combinatorial and the other topological. These two approaches have independent merits and, once combined, provide somehow surprising results. The particular case where the set of produced tilings is countable is deeply investigated while we prove that the uncountable case may have a completely different structure. We introduce a pattern preorder and also make use of Cantor-Bendixson rank. Our first main result is that a tile-set that produces only periodic tilings produces only a finite number of them. Our second main result exhibits a tiling with exactly one vector of periodicity in the countable case.Comment: 11 page

Computing (or not) Quasi-Periodicity Functions of Tilings

We know that tilesets that can tile the plane always admit a quasi-periodic tiling [4, 8], yet they hold many uncomputable properties [3, 11, 21, 25]. The quasi-periodicity function is one way to measure the regularity of a quasi-periodic tiling. We prove that the tilings by a tileset that admits only quasi-periodic tilings have a recursively (and uniformly) bounded quasi-periodicity function. This corrects an error from [6, theorem 9] which stated the contrary. Instead we construct a tileset for which any quasi-periodic tiling has a quasi-periodicity function that cannot be recursively bounded. We provide such a construction for 1-dimensional effective subshifts and obtain as a corollary the result for tilings of the plane via recent links between these objects [1, 10].Comment: Journ\'ees Automates Cellulaires 2010, Turku : Finland (2010

Tilings and model theory

ISBN 978-5-94057-377-7International audienceIn this paper we emphasize the links between model theory and tilings. More precisely, after giving the definitions of what tilings are, we give a natural way to have an interpretation of the tiling rules in first order logics. This opens the way to map some model theoretical properties onto some properties of sets of tilings, or tilings themselves

Propriétés structurelles, combinatoires et logiques des pavages

N/ALes pavages du plan discret expriment les conséquences de contraintes géométriques simples. Ils sont définis par les agencements de couleurs qu'il est possible de former localement. Les pavages forment ainsi des coloriages du plan discret respectant un ensemble fini de contraintes locales. Malgré la simplicité de cette définition, les objets obtenus peuvent être complexes: l'existence même de pavages sous un jeu de contraintes donné est indécidable. Dans cette thèse nous nous intéressons à l'ensemble des pavages valides pour des contraintes données; nous étudions la structure de cet ensemble tout autant que celle des pavages eux-mêmes. Nous prouvons que les ensembles de pavages ne peuvent avoir que trois types de cardinalité: finie, dénombrable ou la cardinalité du continu. En étudiant différentes façons de structurer un ensemble de pavages, nous caractérisons chacune des trois cardinalités possibles par la structure des pavages obtenus. Les plus simples sont les ensembles de pavages finis: nous prouvons que ce sont ceux qui ne contiennent que des pavages périodiques. Les ensembles de pavages dénombrables, grâce à leur cardinalité intermédiaire, ont de nombreuses propriétés: nous les utilisons pour en exhiber les pavages typiques. Enfin, nous caractérisons les façons d'obtenir un nombre indénombrable de pavages. Par la suite, nous étendons cette étude au cas où les contraintes ne sont plus vérifiées partout: nous considérons des pavages où nous autorisons, en une faible proportion de points, à ne pas respecter les contraintes. Nous montrons que, en présence d'erreurs, certains types de contraintes n'autorisent que des objets proches de pavages sans erreur, exhibant ainsi une certaine forme de stabilité. En revanche, d'autres types de contraintes, pour lesquelles nous avons exhibé certains pavages ayant une structure particulière, peuvent faire apparaître des objets plus éloignés lorsque nous introduisons des erreurs. Enfin, nous faisons un retour sur les aspects logiques des pavages, vus comme des modèles de théories logiques. En codant les contraintes de pavages par des formules du premier ordre nous obtenons des correspondances entre la structure des pavages et des propriétés de la théorie. Cette approche nous ouvre de nouveaux horizons: l'axiomatisation du plan discret repose sur une présentation du groupe qui le caractérise. Nous étudions donc les généralisations possibles de nos résultats structurels au cas des pavages sur des groupes de présentation finie

Propriétés structurelles, combinatoires et logiques des pavages

N/ALes pavages du plan discret expriment les conséquences de contraintes géométriques simples. Ils sont définis par les agencements de couleurs qu'il est possible de former localement. Les pavages forment ainsi des coloriages du plan discret respectant un ensemble fini de contraintes locales. Malgré la simplicité de cette définition, les objets obtenus peuvent être complexes: l'existence même de pavages sous un jeu de contraintes donné est indécidable. Dans cette thèse nous nous intéressons à l'ensemble des pavages valides pour des contraintes données; nous étudions la structure de cet ensemble tout autant que celle des pavages eux-mêmes. Nous prouvons que les ensembles de pavages ne peuvent avoir que trois types de cardinalité: finie, dénombrable ou la cardinalité du continu. En étudiant différentes façons de structurer un ensemble de pavages, nous caractérisons chacune des trois cardinalités possibles par la structure des pavages obtenus. Les plus simples sont les ensembles de pavages finis: nous prouvons que ce sont ceux qui ne contiennent que des pavages périodiques. Les ensembles de pavages dénombrables, grâce à leur cardinalité intermédiaire, ont de nombreuses propriétés: nous les utilisons pour en exhiber les pavages typiques. Enfin, nous caractérisons les façons d'obtenir un nombre indénombrable de pavages. Par la suite, nous étendons cette étude au cas où les contraintes ne sont plus vérifiées partout: nous considérons des pavages où nous autorisons, en une faible proportion de points, à ne pas respecter les contraintes. Nous montrons que, en présence d'erreurs, certains types de contraintes n'autorisent que des objets proches de pavages sans erreur, exhibant ainsi une certaine forme de stabilité. En revanche, d'autres types de contraintes, pour lesquelles nous avons exhibé certains pavages ayant une structure particulière, peuvent faire apparaître des objets plus éloignés lorsque nous introduisons des erreurs. Enfin, nous faisons un retour sur les aspects logiques des pavages, vus comme des modèles de théories logiques. En codant les contraintes de pavages par des formules du premier ordre nous obtenons des correspondances entre la structure des pavages et des propriétés de la théorie. Cette approche nous ouvre de nouveaux horizons: l'axiomatisation du plan discret repose sur une présentation du groupe qui le caractérise. Nous étudions donc les généralisations possibles de nos résultats structurels au cas des pavages sur des groupes de présentation finie

Structuring multi-dimensional subshifts

We study two relations on multi-dimensional subshifts: A pre-order based on the patterns configurations contain and the Cantor-Bendixson rank. We exhibit several structural properties of two-dimensional subshifts: We characterize the simplest aperiodic configurations in countable SFTs, we give a combinatorial characterization of uncountable subshifts, we prove that there always exists configurations without any periodicity but that have the simplest possible combinatorics in countable SFTs. Finally, we prove that some Cantor-Bendixson ranks are impossible for countable SFTs, leaving only a few unknown cases